FRM二级市场风险管理难点：极值理论（Extreme Value Theory）

 估计VaR有两类主要的方法，非参数（Nonparametric）方法和参数（parametric）方法。非参数方法基于历史收益率数据或者模拟收益率数据的分布，来获得对VaR的估计。参数方法则通过对于收益率随机变量的分布类型和参数做出估计，通过分布函数（概率密度函数）来对VaR做出估计。非参数方法由于样本数据的随机性以及尾部数据的稀少性，从而对于极端损失的估计不够有效。参数方法中的分布函数是对于全部收益率数据的一种数学概括，往往这种概括并不能很好地描述尾部的情况。作为对上述两类方法的结合，极值理论（Extreme Value Theory）以尾部（亏损）区域的收益率数据为基础，先估计出尾部数据的分布函数（概率密度函数），再利用分布函数对VaR做出估计。由于分布函数是基于尾部数据得到的，所以对于VaR的预测也更加地有效。

例如，收集从1960年到1987年10月16日期间的S&P 500指数的日收益率数据，然后找出每一年的**的日亏损率数据，一共有28个数据点（极端亏损数据），其中**的单日跌幅为6.7%。以Frechet分布来拟合28个亏损数据点，得到具体的分布函数。然后根据所得到的分布函数，可以求出置信水平为98%的VaR为24%，也就是说预计每50年里有1年会出现单日跌幅超过24%的情况，根据分布函数所预测的极端损失（24%）远远高于经验数据所反映的极端损失（6.7%）。在休市两天以后，1987年10月19日，美国股市崩溃，S&P 500指数单日跌幅超过20%。从中可以看到，极值理论对于尾部损失预测的可靠性较高。

极端亏损数据的采集方式有两种，一种称为Peaks over Threshold (POT)方法，另一种称为Block Maxima (BM)方法。POT方法选定一个门槛亏损率，然后将收益率经验数据中所有亏损幅度超过门槛收益率的数据保留下来，作为拟合尾部分布的数据基础。 

BM方法将所有的收益率数据根据时间顺序排列，并根据固定的间距分成许多组，然后从每一组中选出**值（亏损为正数，收益为负数），将选出的数据点作为拟合尾部分布的数据基础。

极端数据的采集方式不同，在此基础上拟合的分布类型也不同。POT方法采集的数据，用Generalized Pareto分布进行拟合； BM方法采集的数据，用Generalized Extreme Value分布来拟合。在分布参数的选择时，需要考虑到损失数据的肥尾现象。

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